質問

finish直後のタイミングで読み込んだBGは破棄されてしまうため、遅延処理を使用して再度設定することで変更後の背景のままリザルト画面に移行できます。

function finish()
  -- 1フレーム待ってからChangeBgを実行
  UTIL:DelayFrameAction(1, ChangeBg)
end

function ChangeBg()
  SCREENMAN:LoadBgChangeImage("画像ファイル名")
  SCREENMAN:ChangeBgImage("画像ファイル名")
end

クリア時のSEをミュートにしたい場合はCS.SystemSEManager.Instance:SetMuteを使用します。こちらのクラスはLuaAPIページでは非公開ですが、VSCode拡張機能の入力補完で表示されるようになっています。

local _isMuteSE = false

function onloaded()
  -- オプションを取得
  volumeOptions = PLAYERSTATS:GetVolumeOptions()
  _isMuteSE = volumeOptions.SystemSEMute
end

function finish()
  -- ミュート状態にする
  CS.SystemSEManager.Instance:SetMute(true)
end

function ondestroy()
  -- 元のオプションに戻す
  CS.SystemSEManager.Instance:SetMute(_isMuteSE)
end

リザルトの音楽を消す方法は今のところ未対応になります。